Pebble Coding

ソフトウェアエンジニアによるIT関連技術や数学の備忘録

モジュラー多項式の定義

とします。これは ではありませんのでご注意ください。 例えば、N=2の時のの集合は、 となります。 以下の式を考えます。 N=2の場合は、 となります。 驚くべきことに、はの整数係数多項式で表せることが知られています。 N=2の場合は、 のように書けるとい…

j不変量(j invariant)

SL(2, Z)とモジュラー性 - Pebble Coding こちらの記事でであることをみましたが、 一般にであることが確かめられます。 , と定義されているので、 同じように、 楕円曲線のデルタの逆数のq展開の係数が整数であることの証明 - Pebble Coding こちらの記事に…

楕円曲線のデルタの逆数のq展開の係数が整数であることの証明

楕円曲線で使われるの逆数のq展開の係数が整数であることの証明が素晴らしかったので、メモしておきます。 についてであることの証明。 ここで、 とおく。 は連続する3つの整数なので3の倍数、連続する2つの整数を含むので2の倍数でもある、したがって6の倍…

SL(2, Z)とモジュラー性

SL(2, Z)のちゃんとして説明はうまくできないので、高校数学の範囲内で特徴を説明したいと思います。 x, yの2次元平面を考えて、x, y, X, Yを整数とします。 線形変換を考えます。 ここでa, b , c, d も整数とします。 これは整数点P(x, y)から整数点Q(X, Y)…

ハッシュ関数の脆弱性

ハッシュ関数とは任意の数のビット列から固定長nのビット列を出力する関数です。 大きなサイズの入力を小さな出力にするわけですから、当然ながら衝突します。 衝突するのに出力のサイズに出来るだけ近い試行回数が必要になっていれば、十分な強度だと言えま…

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