Pebble Coding

ソフトウェアエンジニアによるIT関連技術の備忘録

有限アーベル群と有限生成アーベル群

有限アーベル群と有限生成アーベル群の違いを直感的に説明する。
アーベル群の正確な定義は述べないが、一つの演算(加法や乗法と呼ぶ)が定義された数の集合としておく。

有限アーベル群とは元の数が有限であるアーベル群である。
例えば、加法として2つの整数を加算して5で割った余りと定義した群は元が{0, 1, 2, 3, 4}の5つしかない有限アーベル群である。

無限アーベル群とは元の数が無限個あるアーベル群である。
例えば、加法として2つの整数を加算と定義した群、つまり整数全体は元の数が無限個あるので無限アーベル群である。

有限生成アーベル群とは、有限個の元に演算を有限回もしくは無限回施すことにより、群の全ての元を生成できる群である。
有限生成アーベル群は有限生成有限アーベル群と有限生成無限アーベル群の2種類に分けられる。
例えば、加法として2つの整数を加算と定義した群、つまり整数全体は元1とその逆元-1の加算を繰り返すことによって、
全ての元を作り出すことができる。したがって有限生成(無限)アーベル群である。

正確な定義についてはこちら
有限生成アーベル群 - Wikipedia