Pebble Coding

ソフトウェアエンジニアによるIT関連技術や数学の備忘録

Hasse-Weilの定理(楕円関数限定版)

Hasse-Weilの定理を楕円関数に限定した形で書くと、

Cが有限体  F_{p} 上定義された非特異な楕円曲線であるとき、
C上の  F_{p} に座標を持つ点の数を \#  C( F_{p}) と定義すると、
 p+1 -2 \sqrt {p} \leq \# C(F_{p}) \leq p+1 + 2 \sqrt {p}

不等式だが、任意の楕円曲線に関するものだというのがすごい。
これを実感するために、pを {10}^{100}くらいの数とすると、 \sqrt {p}は桁が半分の{10}^{50}くらいの数になる。
すると有限体上の楕円曲線上の解(x,y)(整数点)の個数は
 {10}^{100} - 2 \times {10}^{50} から
 {10}^{100} + 2 \times {10}^{50}の間であるということになる。 (-1は誤差なので省略した)

有限体F_{p}を定めたとき、解はおよそp個くらいあるから心配するなということをいっている。
楕円曲線を暗号として使う場合、もしこの解の数が極端に少なかったら、
簡単に破られてしまい、暗号としては使い物にならなくなってしまう。

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