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ソフトウェアエンジニアによるIT関連技術や数学の備忘録

素体Fpの乗法群

素体 F_pは体であり、元は{0, 1, ..., p-1}のp個あります。
素体という時、pは素数です。
体なので、加法と乗法について閉じているわけですが、乗法演算の部分のみを取り出した群のことを、
素体 F_pの乗法群と呼び F^*_pと書きます。
この乗法群 F^*_pには加法の単位元0は含まれないことに注意します。
この乗法群 F^*_pの元は{1, 2, ..., p-1}のp-1個となります。
巡回群の定義は、全ての元が一つの元のみを使った演算で全ての元を作れることですが、
この乗法群 F^*_p巡回群です。
群の位数が素数なら、その群は巡回群であることが知られています。

任意の元gを一つとったときに、 { g, {g}^{2}, {g}^{3}, ..., {g}^{p-1} }で全ての元を渡るということです。
例えば  F^*_5の場合、g=3をとると、
 {3}^{1} = 3
 {3}^{2} = 9 = 4
 {3}^{3} = 27 = 2
 {3}^{4} = 81 = 1
となり右辺の{3, 4, 2, 1}が全ての元になっています。
また、この最後のp-1乗すると1になるのはフェルマーの小定理として知られています。

 F^*_pにおける写像 f(x) = {x}^{3}を考えます。

この写像はどのようなものかpythonで調べて見ます。
関連があるため、乗法群の位数(元の数) p-1 を3で割った余りも同時に調べます。

#!/usr/bin/env python

ps = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53]  

for p in ps: 
    print("p {0}".format(p))
    print("(p-1)%3 {0}".format((p-1) % 3)) 
    l = []
    for x in range(1, p): 
        a = (x**3) % p 
        l.append(a)
    print(l)
    print(sorted(l))
    print("")
p 2
(p-1)%3 1
[1]
[1]

p 3
(p-1)%3 2
[1, 2]
[1, 2]

p 5
(p-1)%3 1
[1, 3, 2, 4]
[1, 2, 3, 4]

p 7
(p-1)%3 0
[1, 1, 6, 1, 6, 6]
[1, 1, 1, 6, 6, 6]

p 11
(p-1)%3 1
[1, 8, 5, 9, 4, 7, 2, 6, 3, 10]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]

p 13
(p-1)%3 0
[1, 8, 1, 12, 8, 8, 5, 5, 1, 12, 5, 12]
[1, 1, 1, 5, 5, 5, 8, 8, 8, 12, 12, 12]

p 17
(p-1)%3 1
[1, 8, 10, 13, 6, 12, 3, 2, 15, 14, 5, 11, 4, 7, 9, 16]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16]

p 19
(p-1)%3 0
[1, 8, 8, 7, 11, 7, 1, 18, 7, 12, 1, 18, 12, 8, 12, 11, 11, 18]
[1, 1, 1, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 18, 18, 18]

p 23
(p-1)%3 1
[1, 8, 4, 18, 10, 9, 21, 6, 16, 11, 20, 3, 12, 7, 17, 2, 14, 13, 5, 19, 15, 22]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22]

p 29
(p-1)%3 1
[1, 8, 27, 6, 9, 13, 24, 19, 4, 14, 26, 17, 22, 18, 11, 7, 12, 3, 15, 25, 10, 5, 16, 20, 23, 2, 21, 28]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28]

p 31
(p-1)%3 0
[1, 8, 27, 2, 1, 30, 2, 16, 16, 8, 29, 23, 27, 16, 27, 4, 15, 4, 8, 2, 23, 15, 15, 29, 1, 30, 29, 4, 23, 30]
[1, 1, 1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 23, 23, 23, 27, 27, 27, 29, 29, 29, 30, 30, 30]

p 37
(p-1)%3 0
[1, 8, 27, 27, 14, 31, 10, 31, 26, 1, 36, 26, 14, 6, 8, 26, 29, 23, 14, 8, 11, 29, 31, 23, 11, 1, 36, 11, 6, 27, 6, 23, 10, 10, 29, 36]
[1, 1, 1, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 14, 14, 14, 23, 23, 23, 26, 26, 26, 27, 27, 27, 29, 29, 29, 31, 31, 31, 36, 36, 36]

p 41
(p-1)%3 1
[1, 8, 27, 23, 2, 11, 15, 20, 32, 16, 19, 6, 24, 38, 13, 37, 34, 10, 12, 5, 36, 29, 31, 7, 4, 28, 3, 17, 35, 22, 25, 9, 21, 26, 30, 39, 18, 14, 33, 40]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40]

p 43
(p-1)%3 0
[1, 8, 27, 21, 39, 1, 42, 39, 41, 11, 41, 8, 4, 35, 21, 11, 11, 27, 22, 2, 16, 27, 41, 21, 16, 32, 32, 22, 8, 39, 35, 2, 32, 2, 4, 1, 42, 4, 22, 16, 35, 42]
[1, 1, 1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 11, 11, 11, 16, 16, 16, 21, 21, 21, 22, 22, 22, 27, 27, 27, 32, 32, 32, 35, 35, 35, 39, 39, 39, 41, 41, 41, 42, 42, 42]

p 47
(p-1)%3 1
[1, 8, 27, 17, 31, 28, 14, 42, 24, 13, 15, 36, 35, 18, 38, 7, 25, 4, 44, 10, 2, 26, 41, 6, 21, 45, 37, 3, 43, 22, 40, 9, 29, 12, 11, 32, 34, 23, 5, 33, 19, 16, 30, 20, 39, 46]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46]

p 53
(p-1)%3 1
[1, 8, 27, 11, 19, 4, 25, 35, 40, 46, 6, 32, 24, 41, 36, 15, 37, 2, 22, 50, 39, 48, 30, 44, 43, 33, 20, 10, 9, 23, 5, 14, 3, 31, 51, 16, 38, 17, 12, 29, 21, 47, 7, 13, 18, 28, 49, 34, 42, 26, 45, 52]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52]

実験結果を見ると、p-1を3で割ったあまりが0でない時は、全ての元が出てくるようです。
これを、写像  f(x)= {x}^{3} が自己同型写像であるといいます。
 F^*_p の元を 群F^*_p の元に移していますし、変換前と変換後の元が1対1対応しているからです。

この現象は次の群論の定理とも関係があります。
定理 Gを群、aをGの位数nの元とし、kを整数、d=gcd(k, n)とする。このとき、 {a}^{k}の位数は \frac {n} {d}である。

k=3,nを3で割った余りが0でない場合は、d=1となるので、 {a}^{3}の位数はnとなります。

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