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ソフトウェアエンジニアによるIT関連技術や数学の備忘録

群論におけるラグランジュの定理

ラグランジュの定理を解説します。
ここでは有限群のみを考慮対象とします。

まず、群の定義です。

有限個の元からなる集合Gを考えます。
集合Gから2つの元 g_1, g_2を選び、 g_1に対して g_2を作用させて結果rを得るという操作(演算)を定義します。
この演算をここでは +で表し、 g_1 + g_2 = rと書きます。

1) 集合Gからどの2つの元 g_1, g_2を選んでも演算結果 g_1 + g_2がGに含まれる。
2) (単位元0の存在) 集合Gからどの元gを選んでも g + 0 = 0 + g = gとなる単位元0が存在しGに含まれる。
3) (逆元 -gの存在) 集合Gからどの元gを選んでも g + (-g) = (-g) + g = 0となる逆元 -gが存在しGに含まれる。
4) (結合法則) 集合Gから選んだどの元 g_1, g_2, g_3に対しても、 g_1 + ( g_2 + g_3 ) = (g_1 + g_2) + g_3が成立つ。

この条件はとても厳しいものです。

例:
例えば集合Gを整数の0, 1, 2とし演算を整数の足し算と考えると、1+2=3ですから、集合Gをはみ出してしまい、群にはなりません。
次に集合Gを整数の0,1,2 とし演算を整数の足し算した後3で割って余りをとると考えると、演算結果は全てGに収まり、
全ての元に単位元、逆元が存在し、結合法則も成り立つので群になります。

さらに部分群も定義しておきます。
部分群Hの定義は、群Gの元を有限個取り出して、集合Hを作り、群Gと同じ演算を使った時に集合Hがまた群の性質を満す場合の元の集まりです。
この条件もとても厳しいものです。

そして、群と部分群に対しては、以下のラグランジュの定理が成りたちます。

ラグランジュの定理: 群Gの元の個数はその部分群Hの個数で割り切れる。

ここでは直感的に理解しやすいものだけを述べています。

証明のイメージは以下のようなものです。
部分群Hの元を次のように表します。 h_1, h_2, ..., h_j
この元は全て群Gの元でもあります。
この元の集まりに対して、Gの元 g_1を持って来て加算します。
 h_1 + g_1, h_2 + g_1, ..., h_j + g_1
これらは群Gの元にGの元を演算したものですから、群Gの法則1)により必ずGの元になります。
これらは群Gのうちで全て異なる元になります。
なぜかというと、例えば、 h_1 + g_1 h_2 + g_1が同じ元であったとすると、
群Gの法則3)によって g_1には逆元が必ず存在しますから、 (h_1 + g_1) + (-g_1) = (h_2 + g_1) + (-g_1)が成りたちます。
群Gの法則4)によってこれは h_1 + (g_1 + (-g_1)) = h_2 + (g_1 + (-g_1))となり、
 h_1 + 0_g = h_2 + 0_gが成り立ちます。
この 0_gは群Gの単位元ですが、演算規則は群Gと群Hで同じなので、群Hの単位元 0_hに一致します。
そして h_1 = h_2となりますが、これは群Hの異なる元を選んだことに矛盾します。
これで、 h_1 + g_1, h_2 + g_1, ..., h_j + g_1は全て異なる元であることが言えました。

ここで、このように作った h_1 + g_1, h_2 + g_1, ..., h_j + g_1 = H1ですが、 g_1とはまた別の群Gの元 g_2を持って来て、
 h_1 + g_2, h_2 + g_2, ..., h_j + g_2 = H2を作ります。
同じ議論でこれらも元が全て異なり、群Gの元となります。
H2の個数はH1と同じですね。
これを繰り返して、
H1, H2, ...を考えます。
H1, H2, ..., Hn のように繰り返していくと、この元を全て集めたものはGと一致することが言えます。
理屈はこうです。
H1, H2, ... Hnは群Gの元からはみ出すことはありません。(群Gの法則1による)
また、仮にどうやっても群Gの元vが作れなかったととしましょう。
その場合、 h_1 + v, h_2 + v, ..., h_j + vを作ります。
 h_1, h_2, ... h_jは部分群Hですから、単位元 0_hが含まれるはずです。
この単位元は群Gの単位元でもありますから、
これらのうち、かならずどれかは 0_h + v = vになるので、H1, H2, ...を作っていくと、必ず群Gの元全てを網羅できることが分かります。

分かったことは、
「H1, H2, ..., Hnで群Gの元全てを生み出すことができる。」
「H1, H2, ..., Hnに含まれる元の数は同じで各Hjに元の重複はない」
これから、群Gの元の個数は部分群Hの元の個数で割り切れることが言えます。

ラグランジュの定理の強力さ

群と部分群の定義はかなり厳しいものですが、必要な最低限の条件しか課していません。
また抽象度が高いお陰で、いくら演算が複雑で元の数が多かったとしても、群とその部分群の条件を満たすことが確認できさえすれば、
この定理が応用できるというのが魅力です。

約数という概念が出てくることから、群の元の個数を素数に関連付けたらさらにいろいろ定理が出て来そうな感じがしますよね。

参考:

以下のYouTubeの解説もちょっとおもしろかったです。

【全8回】第6回「ラグランジュの定理」~部分群と位数の関係~【フェルマーの小定理と群論】 - YouTube

http://www.nurs.or.jp/~lionfan/group3.pdf

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