Pebble Coding

ソフトウェアエンジニアによるIT関連技術や数学の備忘録

体論

  • 定義 1
    Kを体とする。任意の定数でない1変数多項式 f(x) \in K[x]に対し
     \alpha \in Kがあり f(\alpha) = 0となるとき、Kを代数閉体(algebraically closed field)という。

  • 定理 1
    Kが代数閉体で、fが f(x) = x^{n} + a_1 x^{n-1} + ... + a_n
     a_1, ..., a_n \in Kの形である場合、
     \alpha_1, ..., \alpha_n \in Kが存在し、 f(x) = (x-\alpha_1)...(x-\alpha_n)である。

  • 拡大体のゆるい定義 2
    体Kにいくつかの元を添加して得られたものLがまた体になっている時、Lを拡大体と呼ぶ。

体Kにn個の元 \alpha_1, ..., \alpha_nを追加して拡大体Lをつくった時、
LはKのn次元ベクトル空間とみなせる。 このベクトル空間の次元を[L : K]の記号で表す。

多項式 f(x) = x^{n} + a_1 x^{n-1} + ... + a_nが考えている対象(体や環など)の多項式の範囲内で、
それ以上因数分解できない時、既約多項式と呼ぶ。

  • 定理2
    Kを体、f(x)をK上既約な多項式 \deg f(x)=nである時、
    L= K[x]/(f(x))は体となり、[L : K] = nである。

ここでK[x]はxの1変数多項式を表し、K[x]/(f(x))は、
K[x]をf(x)=0の範囲で同一とみなした商体を表す。

  • 定義4
    有理数体Qを有限次拡大したものを代数拡大と呼ぶ。

  • 定理3 L/Kを体の代数拡大で \alpha \in Lとする。K上の多項式 f(x) \ne 0 f(\alpha) = 0となり、
     deg f(x)が最小のものは既約であり、定数倍を除いて一意的に定まる。

  • 定義5
    定理3で最上位次数の係数が1のものを最小多項式と呼ぶ。

  • 定義6
    Kを体とする。
    L/Kが代数拡大であり、Lが代数閉体である時、LをKの代数閉包(algebraic closure)と呼ぶ。
    Kの閉包を \overline {K}という記号で表す。

  • 定義7
    (1)  f(x) \in K[x], \alpha \in \overline {K}でf(x)が \overline {K} [x]で (x-\alpha)^{2}で割り切れる時、 \alphaをf(x)の重根と呼ぶ。
    (2)  f(x) \in K[x] \overline {K}で重根を持たない時、分離多項式と呼ぶ。
    (3)  \alpha \in \overline {K}のK上の最小多項式が分離多項式である時、 \alphaはK上分離的(separable)と呼ぶ。

  • 定義8
    A, Bを体Kの拡大体とする。AからBへの準同型写像全体の集合を Hom_K^{al} (A, B)という記号で表す。

  • 定理4
    L/Kを体の代数拡大、 L = K(\alpha) (\alpha \in L)とする。
     \alphaがK上分離的なら、 \# Hom_K^{al} (L, \overline {K}) = [L : K] が成り立つ。 ここで#は準同型写像の数を表す。

定理2と定理4を使い、
Kを体、f(x)をK上既約な多項式として、体L= K[x]/(f(x))をつくる。
 f(x) = (x-\alpha_1)...(x-\alpha_n)として、
 \alpha_1, ..., \alpha_nが分離的であれば、
 \# Hom_K^{al} (K[x]/(f(x)), K[x]) = deg(f) が成り立つ。

代数学2 環と体とガロア理論

代数学2 環と体とガロア理論

プライバシーポリシー

お問い合わせ

スポンサーリンク