Pebble Coding

ソフトウェアエンジニアによるIT関連技術や数学の備忘録

素体の等分点の群構造を調べるその2

素体の等分点の群構造を調べる その1 - Pebble Coding

の記事の最後の例で、等分点の群構造を調べました。
群構造を調べるには、2つの元を加算した元がどうなるかを全ての元について調べる必要があります。
具体的にどのようにするのかをみてみます。

 y^{2} = x^{3} +7
 F_{17}
群位数:18

上の記事とこちらの記事から点Aと点Bを加算した点Cを表にまとめます。
python で有限体Fpでの楕円曲線上の有理点の群構造を調べる - Pebble Coding

表にまとめたら、どれかの点をxと表現し、結果がOになっているところをヒントに x^{3} = O などの式を導出します。xのべきだけで表現できない点があったらその点をyと表現します。
これを繰り返して、全てxのべきだけで表現されていたらそれは巡回群であり、xとyなど2つ以上の元が必要になっている場合は、複数の群の直積となります。

6等分点

P5 P6 P7 P10 P11
P5 O
P6 P11 P7
P7 P10 O P6
P10 P7 P5 P11 P6
P11 P6 P10 P5 O P7

9等分点

P1 P2 P3 P4 P6 P7 P14 P15
P1 P4
P2 O P3
P3 P2 P6 P15
P4 P7 P1 O P14
P6 P3 P15 P14 P2 P7
P7 P14 P4 P1 P15 O P6
P14 P15 P7 P4 P6 P1 P3 P2
P15 P6 P14 P7 P3 P4 P2 O P1

x,yをあてはめていくとこうなります。

y x x2 x2 y x y
y O
x x y x2
x2 x2 y O x
x2 y x2 y x y x
x y x x2 y y O x2

 y^{2} = O
 x^{3} = O
したがってこれは Z_2 \times Z_3と同型です。

x x8 x7 x2 x6 x3 x4 x5
x x2
x8 O x7
x7 x8 x6 Px5
x2 x3 x O x4
x6 x7 x5 x4 x8 x3
x3 x4 x2 x x5 O x6
x4 x5 x3 x2 x6 x x7 x8
x5 x6 x4 x3 x7 x2 x8 O x

 x^{9} = O
したがってこれは Z_9と同型で巡回群です。

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