Pebble Coding

ソフトウェアエンジニアによるIT関連技術や数学の備忘録

素体の等分点の群構造をしらべる その3

まだまだ、一般の等分点の式をみていくには例が足りません。
次の楕円曲線の2等分点を調べてみます。
 F_{11}
 y^{2} = x^{3} -7x + 6

F11
p mod 3 is 2
j:400
#E:16

1 torsion Point:
2 torsion Point:
 P1
 P2
 P11
3 torsion Point:
4 torsion Point:
 P1
 P2
 P7
 P8
 P11
 P12
 P13
5 torsion Point:
6 torsion Point:
 P1
 P2
 P11
7 torsion Point:
8 torsion Point:
 P1
 P2
 P3
 P4
 P5
 P6
 P7
 P8
 P9
 P10
 P11
 P12
 P13
 P14
 P15
9 torsion Point:
10 torsion Point:
 P1
 P2
 P11
11 torsion Point:
12 torsion Point:
 P1
 P2
 P7
 P8
 P11
 P12
 P13
13 torsion Point:
14 torsion Point:
 P1
 P2
 P11
15 torsion Point:
16 torsion Point:
 P1
 P2
 P3
 P4
 P5
 P6
 P7
 P8
 P9
 P10
 P11
 P12
 P13
 P14
 P15

f:id:pebble8888:20181106214319p:plain

2等分点は無限遠点を含めて4つ(O, P1, P2, P11)ありました。 これら4つの点の群の加算法則をまとめます。

P1 P2 P11
P1 O
P2 P11 O
P11 P2 P1 O

x,yをあてはめていくとこうなります。

x y xy
x O
y xy O
xy y x O

ここで、 x^{2} = O, y^{2} = Oです。
この群は Z_2 \times Z_2であることが分かりました。

4等分点は無限遠点を含めて8つ(O,P1,P2,P7,P8,P11,P12,P13)ありました。
これら8つの点の群の加算法則をまとめます。

P1 P2 P7 P8 P11 P12 P13
P1 O
P2 P11 O
P7 P13 P8 P2
P8 P12 P7 O P2
P11 P2 P1 P12 P13 O
P12 P8 P13 P1 P11 P7 P2
P13 P7 P12 P11 P1 P8 O P2
x2 y x2 x x3 y xy x3 y
x2 y O
x2 y O
x x3 y x3 x2
x3 xy x O x2
y x2 x2 y xy x3 y O
xy x3 x3 y x2 y y x x2
x3 y x xy y x2 y x3 O x2

ここで、 x^{4} = O, y^{2} = Oです。 この群は Z_4 \times Z_2であることが分かりました。

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