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ワイエルシュトラスのペー関数(weierstrass p-function)の係数についての漸化式

ワイエルシュトラスのペー関数の係数についての漸化式の導出方法です。


 p(z) = z^{-2} + \sum_{k=4}^{\infty} (k-1) G_{k} z^{k-2}
から出発します。
なお、 G_kはkが奇数のとき0です。
微分します。
 p'(z) = -2 z^{-3} + \sum_{k=4}^{\infty} (k-1) (k-2) G_{k} z^{k-3}
 p''(z) = 6 z^{-4} + \sum_{k=4}^{\infty} (k-1) (k-2) (k-3) G_{k} z^{k-4}
 p''(z) = 6 z^{-4} + 6G_4 + ...
 p(z) = z^{-2} + 3G_4 z^{2} + 5G_6 z^{4} + ...
 p(z)^{2} = z^{-4} + 6G_4 + ...
点がついている部分はzの1次以上の項を表します。

 f(z) = p''(z) - 6p(z)^{2} = -30G_4 + ...
ここで、関数f(z)が格子に対する二重周期関数で、極を持たない場合は、定数である。
という定理を使うと、...の部分は0であることが分かります。
したがって、
 p''(z) = 6p(z)^{2} -30G_4
が成り立ちます。 z^{2}以上の項を比較します。
 \sum_{k=4}^{\infty} (k-1)(k-2)(k-3) G_k z^{k-4}
 = 6 (\sum_{i=4}^{\infty} (i-1) G_i z^{i-2} \sum_{j=4}^{\infty} (j-1) G_j z^{j-2} + \sum_{k=4}^{\infty} 2(k-1) G_k z^{k-4})
 k = i + jでの和に置き換えると、
 = 6 (\sum_{k=4}^{\infty} \sum_{j=4}^{k-4} G_{k-j} G_j (k-j-1)(j-1) z^{k-4} + \sum_{k=4}^{\infty} 2(k-1) G_k z^{k-4})
zの係数を比べて、
 (k-1)(k-2)(k-3) G_k = \sum_{j=4}^{k-4} 6(k-j-1)(j-1) G_{k-j} G_{j} + 12(k-1) G_k
 k \ge 6
移項して、
 ( (k-1)(k-2)(k-3) -12(k-1) ) G_k = \sum_{j=4}^{k-4} 6(k-j-1)(j-1) G_{k-j} G_{j}
 (k-1)(k+1)(k-6) G_k = \sum_{j=4}^{k-4} 6(k-j-1)(j-1) G_{k-j} G_{j}

 p(z) = z^{-2} + \sum_{k=4}^{\infty} (k-1) G_{k} z^{k-2}
 = z^{-2} + \sum_{k=4}^{\infty} \sum_{j=4}^{k-4} \frac {6(k-j-1)(j-1)} {(k+1)(k-6)} G_{k-j} G_{j} z^{k-2}

 p(z) にzの奇数べき項はないことを使うと、2m=kとおいて、
 = z^{-2} + \sum_{m=2}^{\infty} \sum_{j=4}^{2m-4} \frac {6(2m-j-1)(j-1)} {(2m+1)(2m-6)} G_{2m-j} G_j z^{2m-2}
 G_kでkが奇数の時は0であることを使うと、2n=jとおいて、
 = z^{-2} + \sum_{m=2}^{\infty} \sum_{n=2}^{m-2} \frac { 6(2m-2n-1)(2n-1)}{(2m+1)(2m-6)} G_{2m-2n} G_{2n} z^{2m-2}
 = z^{-2} + \sum_{m=2}^{\infty} \sum_{n=2}^{m-2} \frac { 3(2m-2n-1)(2n-1)}{(2m+1)(m-3)} G_{2m-2n} G_{2n} z^{2m-2}
 = z^{-2} + \sum_{m=2}^{\infty} c_{m} z^{2m-2}

 c_{m} = \sum_{n=2}^{m-2} \frac { 3(2m-2n-1)(2n-1)}{(2m+1)(m-3)} G_{2m-2n} G_{2n}
また、
 p(z) = z^{-2} + \sum_{m=2}^{\infty} (2m-1) G_{2m} z^{2m-2}でもあり、
 c_{m} = (2m-1) G_{2m}
 c_{m-n} = (2m-2n-1) G_{2m-2n}
なので、
 c_{m} = \sum_{n=2}^{m-2} \frac {3} {(2m+1)(m-3)} c_{m-n} c_{n}

ここで m \ge 4なので、m=2, 3の項は別の計算で求めます。
ペー関数の展開により、
 c_2 = 3G_4
 c_3 = 5G_6

 g_2 = 60 G_4
 g_3 = 140 G_6
なので、
 c_2 = \frac {g_2} {20}
 c_3 = \frac {g_3} {28}

https://pdfs.semanticscholar.org/e41c/a9a3552fe03190be0bdadae1e5f57ee380e0.pdf
Weierstrass Elliptic Function -- from Wolfram MathWorld

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