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ソフトウェアエンジニアによるIT関連技術や数学の備忘録

複素数体(C)上の同種写像(isogenies)

複数数体(C)上の楕円曲線はLattice(格子)によって決まります。
格子は、2つの複素数  \omega_1, \omega_2の複素ベクトルによって作られるものです。
 Z \omega_1 + Z \omega_2が格子ですが、無限個の頂点から成ります。

 L_1
 \omega_1 = 1, \omega_2 = i
 Z + Z i
ガウス整数からなる格子と言えます。

 L_2
 \omega_1 = 1 + i, \omega_2 = 1-i
 Z (1 + i) + Z (1 - i)
45度傾いた格子と言えます。

格子の繰り返しの原点(0, 0)の位置を含む一つの平行四辺形の領域を格子(lattice)に対する
fundamental parallelogramと呼びます。
上の例ではどちらも正方形ですが、一般には平行四辺形になります。
ここで、ある関数P(z)を考えます。
この平行四辺形で格子が一つすすんだ時にP(z)の関数値が同じになる性質のものを考えます。
この関数は \omega_1 \omega_2の2つの周期を持つので、2重周期関数と呼ばれます。
fundamental parallelogram内をzが動き回る時、この関数p(z)とその微分関数p'(z)は、
楕円曲線Eの方程式を満たすことが知られています。
この関数は2重周期を持つので、どの平行四辺形で動かしても、同じです。
そこで、fundamental parallelogram内をzが動き回る時、別の平行四辺形で動かすのと同じであることを示すように、
格子Lでの商群を考えることになるため、
 E: C/Lと表現します。
例としてあげた2つの格子 L_1, L_2は、45度回転させて、 \sqrt {2}倍すると、一致させることができます。
この関係を楕円曲線で表現したものが、同種写像(isogenies)です。
楕円曲線 E: C/L_1 上の値zから楕円曲線 E: C/L_2上の値へ写す写像として、 1 + iを考えると、
 (1+i) L_1 = L_2 であると言えます。
 (1+i) 1 = 1 + i
 (1+i) i = -1 + i
 (1+i) (-1) = -1 -i
 (1+i) (-i) = 1 + i
45度回転している様子が分かります。
一般化した場合、
 \omega_1' = a \omega_1 + b \omega_2
 \omega_2' = c \omega_1 + d \omega_2
となりますが、上の例では、
a = 1, b = 1, c = 1, d = -1を選んだことに相当します。

正方形の場合も一般の平行四辺形の場合も、面積は実数倍になりますが、ここでは、整数倍になる場合だけを考えます。
上の例では面積が2倍になっていますが、この面積の比率 \in Zのことをdegree(次数)と呼び出す。
この次数をNと表して、 L_1 L_2へ写す写像 \alphaがあり、その次数が整数であるとき、
N isogenousであると言います。

面積の比率はad-bcになります。
ad-bcが整数になる範囲内で考えていることになります。

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