Pebble Coding

ソフトウェアエンジニアによるIT関連技術や数学の備忘録

モジュラー多項式とN-isogenousの関係

定理1
標数  k (0でもよい)の任意の体Fを考える。 l を素数とし l \ne kとする。
体F上の楕円曲線Eの  j 不変量を  j とする。
モジュラー多項式  \Phi_l(j, \tilde {j}) = 0 l + 1 個の根  \tilde {j}は体Fの代数閉包  \overline F に入っている。

定理2
この \tilde {j} l - isogenous 楕円曲線 E/C の  j 不変量である。
ここでCは等分点の群  E [ l ]  l + 1 個の巡回群である。

Fが複素数体  \mathbb{C}の場合の証明は以下の本のTHEOREM 12.5 にある。

標数が素数pの場合の証明方法が分かりません。
どこかに載ってないものか。

Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, Second Edition (Discrete Mathematics and Its Applications)

Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, Second Edition (Discrete Mathematics and Its Applications)

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