Pebble Coding

ソフトウェアエンジニアによるIT関連技術や数学の備忘録

モジュラー多項式とN-isogenousの関係

Nを正の整数として \Phi_N(X, Y)をN次のモジュラー多項式とし、
楕円曲線  E_1 = C/L_1, E_2 = C/L_2がそれぞれ j不変量 j_1, j_2を持つとする。
この時、以下が成り立つ。
 E_1から E_2への写像がN-isogenusであるとき、 \Phi_N(j_1, j_2) = 0である。
逆に、 \Phi_N(j_1, j_2) = 0であるとき、 E_1から E_2への写像はN-isogenusである。

この定理は、有限体上の楕円曲線の有理点の数を求めるSEAアルゴリズムで使われている。
モジュラー多項式 \Phi_N(X, Y)のXの最大次数はN+1であることが関係している。

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