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ソフトウェアエンジニアによるIT関連技術や数学の備忘録

n次多項式の重根判定と微分

定理
複素数体上の多項式を考える。1)と2)は同値である。
1) n次多項式f(x)は重根 \alphaを持つ。
2) n次多項式f(x)のある根 \alphaに対し f'(\alpha) = 0が成り立つ

証明 1) -> 2)
 f(x) = (x- \alpha)^{2} g(x)と書ける。
微分して、 f'(x) = 2(x-\alpha) g(x) + (x-\alpha)^{2}g'(x)
したがって、 f'(\alpha) = 0が成り立つ。

証明 2) -> 1)
対偶である、「重根を持たなければ、全ての根 \alphaに対し f'(\alpha) \ne 0」を証明する。
n個の根を \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_nで表す。
 f(x) = (x - \alpha_1)(x-\alpha_2)...(x-\alpha_n)
重根を持たないので、 \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_nは全て異なる値である。
微分して、
 f'(x) =
  (x - \alpha_2)...(x-\alpha_n)
 + (x-\alpha_1)(x-\alpha_3)...(x-\alpha_n)
 + ...
 + (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)...(x-\alpha_{n-1})

 f'(\alpha_i) = (\alpha_i-\alpha_1)...(\alpha_i-\alpha_{i-1})(\alpha_i-\alpha_{i+1})... (\alpha_i-\alpha_n)
ここで、 \alphaは全て異なる値なので、この値は0にならない。

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