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ソフトウェアエンジニアによるIT関連技術や数学の備忘録

円分体で使われる式

nを整数として、 \zeta_n = e^{2 \pi i / n}とすると以下が成り立つ。
 x^{n} - 1 = (x-1)(x-\zeta_n)(x-\zeta_n^{2})...(x-\zeta_n^{n-1})
 x^{n} - 1 = (x-1)(1 + x + x^{2} + ... + x^{n-1})

2番めの式で、 x = e^{2 \pi i / n}とすると、左辺は0になるが、右辺の(x-1)は0ではない。
したがって
 1 + \zeta_n + \zeta_n^{2} + ... + \zeta_n^{n-1} = 0

1番目の式が正しいかも確認してみます。
 (x-\zeta_4)(x-\zeta_4^{2})(x-\zeta_4^{3})
 = x^{3}
 + x^{2}(-\zeta_4 - \zeta_4^{2} - \zeta_4^{3})
 + x(\zeta_4 \zeta_4^{2} + \zeta_4 \zeta_4^{3} + \zeta_4^{2} \zeta_4^{3})
 + (-\zeta_4^{6})
ここで、 \zeta_4^{4} = 1 \zeta_4^{2} = -1を使えば係数が全て1になることが分かります。

 (x-\zeta_5)(x-\zeta_5^{2})(x-\zeta_5^{3})(x-\zeta_5^{4})
 = x^4
 + x^3 (-\zeta_5 - \zeta_5^{2} - \zeta_5^{3} - \zeta_5^{4})
 + x^2 (\zeta_5 \zeta_5^{2} + \zeta_5 \zeta_5^{3} + \zeta_5 \zeta_5^{4} + \zeta_5^{2} \zeta_5^{3} + \zeta_5^{2} \zeta_5^{4} + \zeta_5^{3} \zeta_5^{4}))
 + x (- \zeta_5^{2} \zeta_5^{3} \zeta_5^{4} - \zeta_5 \zeta_5^{3} \zeta_5^{4} - \zeta_5 \zeta_5^{2} \zeta_5^{4} - \zeta_5 \zeta_5^{2} \zeta_5^{3})
 + \zeta_5 \zeta_5^{2} \zeta_5^{3} \zeta_5^{4}
 = x^4
 + x^3 (-\zeta_5 - \zeta_5^{2} - \zeta_5^{3} - \zeta_5^{4})
 + x^2 (\zeta_5^{3} + \zeta_5^{4} + 1 + 1 + \zeta_5^{1} + \zeta_5^{2}))
 + x (- \zeta_5^{4} - \zeta_5^{3} -  \zeta_5^{2} - \zeta_5 )
 + 1
となり、係数が全て1であることが確かめられます。

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