Pebble Coding

ソフトウェアエンジニアによるIT関連技術や数学の備忘録

群、環、体、正規拡大、分離拡大

群の定義

集合Gから任意の要素a, bを取り出してそれに対してGの要素cを割り当てる操作(写像ともいう)を
c = f(a, b)
と表す。
A) 結合律、B) 単位元 C) 逆元 が成り立つとき、これを群と呼ぶ。

A) 結合律
a, b, cを集合から取り出したとき、
f(a, f(b, c)) = f(f(a, b), c))
が全てのa, b, cについて、成り立つ。

B) 単位元
Gの中に0が存在し、Gの中からaを取り出したとき、
f(0, a) = f(a, 0) = a
が全てのaについて成り立つ。

C) 逆元
Gの中からaを取り出したとき、
f(b, a) = f(a, b) = 0
となるbが全てのaについて成り立つ。

環、体の定義

集合Gから任意の要素a, bを取り出してそれに対してGの要素cを割り当てる操作(写像、演算ともいう)を2種類用意し
c = f(a, b)
c = g(a, b)
と表す。fを加法、gを乗法と呼ぶことにする。
加法について、A) 結合律 B)単位元 C) 逆元、
乗法について、D) 結合律 E)単位元、
G) 分配律 が成り立つとき、これを環と呼ぶ。

また、
加法について、A) 結合律 B)単位元 C) 逆元、
乗法について、D) 結合律 E)単位元 F) 逆元、
G) 分配律 が成り立つとき、これを体と呼ぶ。

A) 加法の結合律
a, b, cを集合から取り出したとき、
f(a, f(b, c)) = f(f(a, b), c))
が全てのa, b, cについて、成り立つ。

B) 加法の単位元
Gの中に0が存在し、Gの中からaを取り出したとき、
f(0, a) = f(a, 0) = a
が全てのaについて成り立つ。

C) 加法の逆元
Gの中からaを取り出したとき、
f(b, a) = f(a, b) = 0
となるbが全てのaについて成り立つ。

D) 乗法の結合律
a, b, cを集合から取り出したとき、
g(a, g(b, c)) = g(g(a, b), c))
が全てのa, b, cについて、成り立つ。

E) 乗法の単位元
Gの中に1が存在し、Gの中からaを取り出したとき、
g(1, a) = g(a, 1) = a
が全てのaについて成り立つ。

F) 乗法の逆元
Gの中からaを取り出したとき、
g(b, a) = g(a, b) = 1
となるbが全てのaについて成り立つ。

G) 分配律
g(a, f(b, c)) = f(g(a, b), g(a, c))
g(f(b, c), a) = f(g(b, a), g(c, a))

体の標数(characteristic)

体の乗法単位元 1_K \in Kに1以上の整数 n \ge 1, n \in Zを乗算したものが体の加法単位元 0_Kになるときの最小の値を標数(characteristic)と呼ぶ。
 g(1_K, n) = g(n, 1_K) = 0_K
有限体なら標数は素数であることが知られている。
無限体の場合は無限大になるが、標数0と定義する。

有限体の要素数(cardinarity)

有限体の要素数(cardinarity)は素数のべきになることが知られている。

代数閉包(algebraic closure)

以下、有限体のみを考える。
体F上の任意の0でないxのn次多項式P(x)を考える。これは係数が体Fであることを意味する。
nは無限次元まで考える。
P(x) = 0を満たす根xが常にF上に存在するとき、Fを代数閉包(algebraic closure)と呼ぶ。
有限体の要素数は有限だが、有限体の代数閉包の要素数は無限であることが知られている。

有限体の代数閉包は以下のように表現できる。
 \overline {F_p} = \cup_{n \ge 1}^{\infty} F_{p^{n}}

代数拡大(algebraic extension)

n次多項式P(x) = 0 の閉包 \overline {F} 上のn個の根を体Fに追加して得られた体LをFの拡大体と呼ぶ。
これを代数拡大(algebraic extension)と呼ぶ。

正規拡大(normal extension)

n個の根を \alpha_1, .., \alpha_n \in \overline {F}と書いたとき、
 \alpha_1, ..., \alpha_nがすべて体Lに収まっているとき、正規拡大(normal extension)と呼ぶ。

例:  Q から  Q(\sqrt[3]{2})は正規拡大ではない。
 x - \sqrt[3]{2} = 0
 x^{3} = 2
 x^{3} - 2 = 0
 (x- \sqrt[3]{2})(x^{2} + ax + b) = 0
 x^{2} + ax + b = 0の根は、複素数になるので、1つの根は体 Q(\sqrt[3]{2})に収まっているが、
残りの2つの根が体 Q(\sqrt[3]{2})に収まっていないので、正規拡大ではない。

分離拡大(separable extension)

n個の根を \alpha_1, .., \alpha_n \in \overline {F}と書いたとき、
 \alpha_1, ..., \alpha_nが全て異なるとき、分離拡大(separable extension)と呼ぶ。

例: 体 F_7 F(x) = x^{3} + 4x + 2 = 0で拡大した体Kは分離拡大ではない。
 F_7上で、 F(x) = (x-1)^{2} (x+2) = (x^{2} - 2 x + 1)(x + 2) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 2 x^{2} -4x + 2 = x^{3} -3x + 2 = x^{3} +4x + 2
であり、x=1という重解を持つため分離拡大ではない。

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