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ソフトウェアエンジニアによるIT関連技術や数学の備忘録

代数的整数と代数的数

整数係数の1次元n次多項式で最大次数の係数が1のもの
 x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_{0}
 a_i \in Z
の根となる複素数を代数的整数(algebraic integer)と呼ぶ。

代数的整数 - Wikipedia

代数体Kの元のうち、代数的整数のみを抜き出した集合を整数環(ring of integers)と呼び、 O_Kと表す。

有理数係数の1次元n次多項式
 x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_{0}
 a_i \in Q
の根となる複素数を代数的数(algebraic number)と呼ぶ。

代数的数 - Wikipedia


 d \gt 0 を整数の2乗ではない整数とした時、集合 K= \mathbb{Q}(\sqrt { - d}) = \{ a + b \sqrt { -d } | a, b \in \mathbb{Q} \}は体をなす。
これを虚二次体(imaginary quadratic field)と呼ぶ。

二次体 - Wikipedia

有理数体  \mathbb{Q} を有限次代数拡大した体Kを代数体(algebraic number field あるいは number field)と呼ぶ。
拡大次数が2のものを2次体と呼ぶ。

代数体 - Wikipedia

代数体Kの拡大次数を [ K : Q]と書く。
代数体Kの部分環  O \subset Kが有限生成された階数(rank)  [ K : Q] \mathbb{Z}加群(module)である時、
Oを代数体Kのオーダー(order)と呼ぶ。

http://wwwf.imperial.ac.uk/~buzzard/maths/research/notes/Yukako_Kezuka_MSc_Project.pdf

群Gと整数環Zに対して、演算 \cdotを以下で定義する。
 a \cdot x = y
 x, y \in G, a \in Z
任意の a, b \in Z,  x, y \in Gに対して、
(1)  a \cdot (b \cdot x) = (ab) \cdot x
(2)  (a + b) \cdot x = a \cdot x + b \cdot x
(3)  a \cdot (x + y) = a \cdot x + a \cdot y
(4)  1 \cdot x = x
が成り立つ時、群Gを \mathbb{Z}加群(module)と呼ぶ。

環上の加群 - Wikipedia

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