Pebble Coding

ソフトウェアエンジニアによるIT関連技術や数学の備忘録

モジュラー形式(modular forms) その1

j関数の定理を証明するのにmodular formsの知識が必要なので、勉強し始めました。
とりあえず、教科書が届くまではネットのPDFで勉強します。

一般線型群のモジュラー形式

 GL_2(\mathbb {R}) := \biggl\{ \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix} |  a, b, c, d \in \mathbb {R}, ad - bc \ne 0
 \biggr\}
とし、
 \gamma = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix} \in GL_2( \mathbb {R})
 z \in \mathbb {C} - \mathbb {R}として、
 \gamma z := \frac {az + b} {cz + d}と定義する。

 z \in \mathbb {C} - \mathbb {R}というのは複素数から実数を取り除いた集合という意味である。

命題1
 \gamma, \gamma' \in GL_2(\mathbb {R}), z \in \mathbb {C} - \mathbb {R}とするとき、以下が成り立つ。

(i)  Im(\gamma z) = \frac {det(\gamma) Im(z) } {|cz + d|^{2}}
(ii)  \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix} z = z
(iii)  \gamma (\gamma'(z)) = (\gamma \gamma')(z)

証明
(i) 先に Im(\overline z) = -Im(z)であることを書いておく。
 Im(\gamma z) = Im( \frac {az + b} {cz + d}) = Im( \frac {(az+b)(c \overline z + d)} {|cz + d|^{2}})
 = \frac {Im ( (az + b) (c \overline {z} + d)) } {|c z+d|^{2}} = \frac {Im (ac z \overline z + bd + ad z + bc \overline z) } {|c z+d|^{2}}
 =  \frac {Im (ad z + bc \overline z) } {|c z+d|^{2}} = \frac {(ad - bc) Im(z) } {|c z+d|^{2}}= \frac { det(\gamma) Im(z) } {|c z+d|^{2}}
(ii)  \frac {1 z + 0} { 0 z + 1 } = z
(iii)  \gamma = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix},
\gamma' = \begin{pmatrix}
e & f \\
g & h \\
\end{pmatrix} とおく。
 \gamma z = \frac {ez + f} {gz + h}
 \gamma (\gamma' z) = \frac { a \frac {ez + f} {gz + h} + b} { c \frac {ez + f} {gz + h} + d}
 = \frac {(ae + bg)z + (af + bh)} {(ce  +dg)z + (cf + dh)}
一方、
 \gamma \gamma' = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
e & f \\
g & h \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
ae + bg & af + bh \\
ce + dg & cf + dh \\
\end{pmatrix}
したがって両辺は一致する。

参考

オランダ ユトレヒト大学の数学修士の講義
http://www.few.vu.nl/~sdn249/modularforms16/index.html

アメリカ コネティカット大学のModular Formsの講義(You Tube)
www.youtube.com

学生の頭で白板が見えない時があるのがちょいちょい面白い。
こういう大学の講義懐かしい。

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