Pebble Coding

ソフトウェアエンジニアによるIT関連技術や数学の備忘録

Doud's method

楕円曲線を満たすxを表す式の一つにDoud's methodがあります。
これを使い、モジュラー多項式の次数を下げた多項式を得るSEA法のロジックのうちの一つを計算してみます。
ぺー関数を以下のように表すのがDoud's methodです。
 P(z) = (\frac {w \pi i} {\omega_2} )^{2} ( \frac {1} {12} + \frac {u} {(1-u)^{2}} + \sum_{n=1}^{\infty} q^{n} (\frac {u} {(1-q^{n}u)^{2}} + \frac {u} {(q^{n} - u)^{2}} - \frac {2} {(1-q^{n})^{2}})  )
 u = exp(2 \pi i z/ \omega_2), \tau = \omega_1/\omega_2, q = exp(2 \pi i \tau), z \in \mathbb C

頭についている定数は以後の計算では省略していきます。最終的な等式では計算によって消えます。

必要な等式を先に書いておきます。 lはprimeとします。
 \zeta := exp(2 \pi i / l)
 \sum_{i=0}^{l-1} \frac {\zeta^{i} X} {(1-\zeta^{i}X)^{2}} = \frac {l^{2} X^{l}} {(1-\zeta^{i})^{2}} (A)
 \sum_{i=1}^{l-1} \frac {\zeta^{i}} {(1-\zeta^{i})^{2}} = \frac {1-l^{2}} {12} (B)
 \frac {X} {(1-X)^{2}} = \sum_{m=1}^{\infty} m X^{m} (C)
 E_2(q) = 1 - 24 \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} n q^{nm} (D)
 x(\zeta, q) := \frac {1} {12} - 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac {q^{n}} {(1-q^n)^{2}} + \sum_{n \in \mathbb {Z}} \frac {\zeta^{i} q^{n}} {(1 - \zeta^{i} q^{n})^{2}} (E)

示すべき式は以下です。
 \sum_{i=1}^{l-1} x(\zeta, q) = \frac {l} {12} E_2(q) - \frac {l^{2}} {12} E_2(q^l)

(E)のsumをとり、
 \sum_{i=1}^{l-1} x(\zeta, q) = \frac {l-1} {12} - 2(l-1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac {q^n} {(1-q^{n})^{2}} + \sum_{i=1}^{l-1} \sum_{n \in \mathbb {Z}} \frac {\zeta^{i} q^{n}} {(1-\zeta^{i} q^{n})^{2}}
 = \frac {l-1} {12} - 2(l-1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac {q^n} {(1-q^{n})^{2}} + 2 \sum_{i=1}^{l-1} \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\zeta^{i} q^{n}} {(1-\zeta^{i} q^{n})^{2}} +  \sum_{i=1}^{l-1} \frac {\zeta^{i}} {(1-\zeta^{i})^{2}}
 = \frac {l-1} {12} - 2(l-1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac {q^n} {(1-q^{n})^{2}} + 2 \sum_{i=0}^{l-1} \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\zeta^{i} q^{n}} {(1-\zeta^{i} q^{n})^{2}} - 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac {q^{n}} {(1-q^{n})^{2}} +  \sum_{i=1}^{l-1} \frac {\zeta^{i}} {(1-\zeta^{i})^{2}}
 = \frac {l-1} {12} - 2 l \sum_{n=1}^{\infty} \frac {q^n} {(1-q^{n})^{2}} + 2 \sum_{i=0}^{l-1} \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\zeta^{i} q^{n}} {(1-\zeta^{i} q^{n})^{2}} +  \sum_{i=1}^{l-1} \frac {\zeta^{i}} {(1-\zeta^{i})^{2}}
 = \frac {l-1} {12} - 2 l \sum_{n=1}^{\infty} \frac {q^n} {(1-q^{n})^{2}} + 2 \sum_{i=0}^{l-1} \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\zeta^{i} q^{n}} {(1-\zeta^{i} q^{n})^{2}} +  \frac {1-l^{2}} {12}
 = \frac {l-l^{2}} {12} - 2 l \sum_{n=1}^{\infty} \frac {q^n} {(1-q^{n})^{2}} + 2 \sum_{i=0}^{l-1} \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\zeta^{i} q^{n}} {(1-\zeta^{i} q^{n})^{2}}
 = \frac {l-l^{2}} {12} - 2 l \sum_{n=1}^{\infty} \frac {q^n} {(1-q^{n})^{2}} + 2 l^{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac { q^{nl}} {(1- q^{nl})^{2}}
 = \frac {l-l^{2}} {12} - 2 l \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} m q^{nm} + 2 l^{2} \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} m q^{mnl}
 = \frac {l} {12} (1- 24 \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} m q^{nm}) - \frac {l^{2}} {12} (1 - 24 \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} m q^{mnl})
 = \frac {l} {12} E_2(q) - \frac {l^{2}} {12} E_2(q^{l})

Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, Second Edition (Discrete Mathematics and Its Applications)

Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, Second Edition (Discrete Mathematics and Its Applications)

なお(D)の式は 楕円曲線と保型形式 N.コブリッツ 3.2章 に載っています。

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