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ソフトウェアエンジニアによるIT関連技術や数学の備忘録

数論的約数関数(number theoretic divisor function)

数論的約数関数に対して成り立つ恒等式を証明します。

 \sigma_l(n) = \sum_{d|n} d^{l}
と定義します。
自然数nに対してその約数dについて和をとります。
例:
 \sigma_l(1) = 1^{l}
 \sigma_l(2) = 1^{l} + 2^{l}
 \sigma_l(3) = 1^{l} + 3^{l}
 \sigma_l(4) = 1^{l} + 2^{l} + 4^{l}
 \sigma_l(5) = 1^{l} + 5^{l}
 \sigma_l(6) = 1^{l} + 2^{l} + 3^{l} + 6^{l}
 \sigma_l(7) = 1^{l}  +7^{l}

次の恒等式が成り立ちます。
 \sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{l}(n) q^{n} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac {i^{l} q^{i}} {1-q^{i}}
証明:
 LHS = \sigma_l(1) q^{1} + \sigma_l(2) q^{2} + \sigma_l(3) q^{3} + ...
 RHS = \sum_{i=1}^{\infty} i^{l} \sum_{j=0}^{\infty} q^{i} q^{ij}
 = \sum_{i=1}^{\infty} i^{l} \sum_{j=0}^{\infty} q^{i(j+1)}
 = \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} i^{l} q^{ij}

LHSと比較するにはqのべきが等しいものをまとめる必要があります。
同じべきとなる ij = n は nが2つの約数 i, j の積であることでまとまります。証明終わり。


約数関数 - Wikipedia

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